数学 – 関連しながら変化する世界 - 簡単な関数 – 分数関数・無理関数(逆関数、グラフ)

数学読本〈2〉
簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(関連しながら変化する世界 - 簡単な関数)、5.3(分数関数・無理関数)、逆関数、問43.を解いてみる。

問43.

$\begin{array}{l}1=\frac{a+b}{3}\\ 3=a+b\\ b=3-a\\ \\ y=\frac{ax-a+3}{x+2}\\ =\frac{a\left(x+2\right)-3a+3}{x+2}\\ =\frac{-3\left(a-1\right)}{x+2}+a\\ x+2=\frac{-3\left(a-1\right)}{y-a}\\ \\ y=\frac{-3\left(a-1\right)}{x-a}-2\\ \\ \frac{ax-a+3}{x+2}=\frac{-3a+3}{x-a}-2\\ \frac{ax-a+3}{x+2}=\frac{-2x-a+3}{x-a}\\ a{x}^2+\left(-a^2-a+3\right)x+a^2-3a=-2x^2+\left(-4-a+3\right)x-2a+6\\ \left(a+2\right)x^2+\left(-a^2+4\right)x+a^2-a-6=0\\ \left(a+2\right)x^2-\left(a+2\right)\left(a-2\right)x+\left(a-3\right)\left(a+2\right)=0\\ \left(a+2\right)\left(x^2-\left(a-2\right)x+a-3\right)=0\\ a=-2,b=5\end{array}$