数学 - 基本理論(Basic Theory) - 積分(Integration) - 積分法の基礎公式 - 積分法の基礎公式と部分積分法 - オイラーの贈物

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
(東海大学出版会)
吉田 武 (著)

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第Ⅰ部(基礎理論(Basic Theory))、4章(積分(Integration))、4.4(積分法の基礎公式)、4.4.1(置換積分法)、4.4.2(部分積分法)、問題2.を解いてみる。

問題2.

1. 
   $\begin{array}{l}t=ax+b\\ x=\frac{t-b}{a}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{a}\\ {\displaystyle \int f\left(x\left(t\right)\right)\frac{dx}{dt}}dt\\ ={\displaystyle \int \frac{a}{2t^{\frac{1}{2}}}}·\frac{1}{a}dt\\ =\frac{1}{2}·\frac{1}{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}+積分定数\\ =\sqrt{ax+b}+積分定数\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle \int f\left(x\left(t\right)\right)\frac{dx}{dt}dt}\\ ={\displaystyle \int -\frac{a}{t^2}·\frac{1}{a}dt}\\ =-{\displaystyle \int \frac{1}{t^2}dt}\\ =-\frac{1}{-1}{t}^{-1}+積分定数\\ =\frac{1}{ax+b}+積分定数\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{ax+b}}dx}\\ t=ax+b\\ x=\frac{t-b}{a}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{a}\\ {\displaystyle \int t^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{a}dt}\\ =\frac{1}{a}\frac{1}{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}+積分定数\\ =\frac{2\sqrt{ax+b}}{a}+積分定数\\ \\ F\left(x\right)=\frac{2\sqrt{ax+b}}{a}x-\frac{2}{a}{\displaystyle \int \sqrt{ax+b}}dx\\ t=ax+b\\ x=\frac{t-b}{a}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{a}\\ {\displaystyle \int \sqrt{ax+b}}dx\\ ={\displaystyle \int t^{\frac{1}{2}}\frac{1}{a}dt}\\ =\frac{1}{a}\frac{1}{\frac{3}{2}}{t}^{\frac{3}{2}}+積分定数\\ =\frac{2{\left(ax+b\right)}^{\frac{3}{2}}}{3a}+積分定数\\ F\left(x\right)=\frac{2}{a}\left(x\sqrt{ax+b}-\frac{2}{3a}\left(ax+b\right)\sqrt{ax+b}\right)+積分定数\\ =\frac{2}{a}·\frac{ax-2b}{3a}·\sqrt{ax+b}+積分定数\\ =\frac{2\left(ax-2b\right)\sqrt{ax+b}}{3a^2}+積分定数\end{array}$