数学 - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 極形式(ド・モアブルの公式)

線型代数入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(複素数、複素ベクトル空間)、3(極形式)、問4.を解いてみる。

問4.

$\begin{array}{l}\cos 3\phi +i\sin 3\phi \\ ={\cos }^3\phi +3i{\cos }^2\phi \sin \phi -3\cos \phi {\sin }^2\phi -i{\sin }^3\phi \\ =\left({\cos }^3\phi -3\cos \phi {\sin }^2\phi \right)+\left(3{\cos }^2\phi \sin \phi -{\sin }^3\phi \right)i\\ \cos 3\phi ={\cos }^3\phi -3\cos \phi {\sin }^2\phi \\ \\ \cos 4\phi +i\sin 4\phi \\ ={\left({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi +2i\sin \phi \cos \phi \right)}^2\\ \sin 4\phi \\ =4\sin \phi \cos \phi \left({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi \right)\\ =4\sin \phi {\cos }^3\phi -4{\sin }^3\phi \cos \phi \\ \\ \cos 5\phi \\ ={\cos }^5\phi -10{\cos }^3\phi {\sin }^2\phi +5\cos \phi {\sin }^4\phi \end{array}$