数学 - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 二項方程式(累乗根、複素平面)

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線型代数入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、4(二項方程式)、問3.を解いてみる。

問3.

$\begin{array}{l} 1 + i = 2^{\frac{1}{2}} (\cos (\frac{π}{4} + 2 k π) + i \sin (\frac{π}{4} + 2 k π)) \\ {(1 + i)}^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{π}{8} + k π) + \sin (\frac{π}{8} + k π)) \end{array}$
$\begin{array}{l} i = \cos (\frac{π}{2} + 2 k π) + i \sin (\frac{π}{2} + 2 k π) \\ i^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3})) \end{array}$
$\begin{array}{l} - 2 + 2 \sqrt{3} i = 2 (- 1 + \sqrt{3} i) \\ = 2 (\cos (\frac{2 π}{3} + 2 k π) + i \sin (\frac{2 π}{3} + 2 k π)) \\ {(- 2 + 2 \sqrt{3} i)}^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}) + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{k π}{2})) \end{array}$
$\begin{array}{l} - 1 = \cos (π + 2 k π) + i \sin (π + 2 k π) \\ {(- 1)}^{\frac{1}{5}} = 1^{\frac{1}{5}} (\cos (\frac{π}{5} + \frac{2 k π}{5}) + i \cos (\frac{π}{5} + \frac{2 k π}{5})) \end{array}$

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