数学 – 図形と数式の関係 - 平面図形と式 – 円と軌跡(円の接線, 傾き、距離)

数学読本〈2〉
簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と数式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、円の接線、問25.を解いてみる。

問25.

2. 
   $\begin{array}{l}y=mx+n\\ x^2+m^2{x}^2+2mnx+n^2=r^2\\ \left(1+m^2\right)x^2+2mnx+n^2-r^2=0\\ \frac{D}{4}=m^2{n}^2-\left(1+m^2\right)\left(n^2-r^2\right)=0\\ -n^2+r^2+m^2{r}^2=0\\ n^2=r^2\left(m^2+1\right)\\ n=\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}y=mx+n\\ mx-y+n=0\\ d=\frac{\left|0n-0+n\right|}{\sqrt{n^2+1^2}}=\frac{\left|n\right|}{\sqrt{m^2+1}}=r\\ \left|n\right|=\sqrt{m^2+1}r\\ n=\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}$