数学 - 関数の定義(Definitions of Functions) - テイラー展開(Taylar's Expansion) - テイラー級数 - 項別微分・項別積分 - オイラーの贈物

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
(東海大学出版会)
吉田 武 (著)

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第2部(関数の定義(Definitions of Functions))、5章(テイラー展開(Taylar's Expansion))、5.2(テイラー級数)、問題2.を解いてみる。

問題2.

1. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{1-\left(-x^2\right)}\\ =1-x^2+x^4-x^6+···\\ ={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n{x}^{2n}}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\left(\frac{1}{1-x}\right)\text{'}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}\\ \left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{x}^n}\right)\text{'}=\left(1+x+x^2+x^3+···\right)\text{'}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}\\ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n{x}^{n-1}}=1+2x+3x+···=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}\end{array}$