数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (対数に関する基本的な等式4)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数の性質)、対数に関する基本的な等式、問20.を解いてみる。

問20.

$\begin{array}{l}x{\log }_{c}a=y{\log }_{c}b=z{\log }_{c}c\\ x{\log }_{c}a=y{\log }_{c}b=z\\ \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Rightarrow ab=c\\ \frac{1}{x{\log }_{c}a}=\frac{1}{y{\log }_{c}b}=\frac{1}{z}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x{\log }_{c}a}\\ x{\log }_{c}a=\frac{xy}{x+y}\\ {\log }_{c}a=\frac{y}{x+y}\\ {\log }_{c}b=\frac{x}{x+y}\\ {\log }_{c}a+{\log }_{c}b=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\\ {\log }_{c}ab=1\\ ab=c\\ \\ ab=c\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\ {\log }_{c}ab={\log }_{c}c\\ {\log }_{c}ab=1\\ {\log }_{c}a+{\log }_{c}b=1\\ \frac{z}{x}+\frac{z}{y}=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\end{array}$