数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (底の変換公式4)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数の性質)、底の変換公式、問24.を取り組んでみる。

問24.

$\frac{\log_{a} b \log_{a} c \log_{a} a}{\log_{a} a \log_{a} b \log_{a} c} = 1$
$\begin{array}{l} \log_{2} 2 \cdot 3 \log_{3} 2 \cdot 3 - \log_{2} 3 - \log_{3} 2 \\ = (\log_{2} 2 + \log_{2} 3) (\log_{3} 2 + \log_{3} 3) - \log_{2} 3 - \log_{3} 2 \\ = (1 + \log_{2} 3) (\log_{3} 2 + 1) - \log_{2} 3 - \log_{3} 2 \\ = \log_{3} 2 + \log_{2} 3 + 1 + \log_{2} 3 \log_{3} 2 - \log_{2} 3 - \log_{3} 2 \\ = 1 + \log_{2} 3 \log_{3} 2 \\ = 1 + \frac{\log_{2} 3 \log_{2} 2}{\log_{2} 2 \log_{2} 3} \\ = 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{\log_{2} 10 \log_{2} 12 \log_{2} 14 \log_{2} 16}{\log_{2} 8 \log_{2} 10 \log_{2} 12 \log_{2} 14} \\ = \frac{\log_{2} 16}{\log_{2} 8} \\ = \frac{\log_{2} 2^{4}}{\log_{2} 2^{3}} = \frac{4}{3} \end{array}$

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