数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (いくつかの例題及び問題の補充6) | Kamimura's blog

2016年3月27日日曜日

数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (いくつかの例題及び問題の補充6)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数の性質)、いくつかの例題及び問題の補充、問37.を取り組んでみる。

問37.

\begin{array}{l} X = 2^{x} \\ Y = 2^{y} \\ \log_{2} X = x \\ \log_{2} Y = y \\ \log_{2} \frac{X + Y}{2} - \frac{\log_{2} X + \log_{2} Y}{2} \\ = \log_{2} \frac{X + Y}{2} - \frac{\log_{2} X Y}{2} \\ = \log_{2} \frac{X + Y}{2} - \log_{2} {(X Y)}^{\frac{1}{2}} \\ \frac{X + Y}{2} \geq {(X Y)}^{\frac{1}{2}} \\ \log_{2} \frac{X + Y}{2} - \log_{2} {(X Y)}^{\frac{1}{2}} \geq 0 \\ \log_{2} \frac{X + Y}{2} \geq \log_{2} {(X Y)}^{\frac{1}{2}} \\ \log_{2} \frac{2^{x} + 2^{y}}{2} \geq \frac{x + y}{2} \end{array}

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