数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (いくつかの例題及び問題の補充7) | Kamimura's blog

2016年3月28日月曜日

数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (いくつかの例題及び問題の補充7)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数の性質)、いくつかの例題及び問題の補充、問38.を取り組んでみる。

問38.

\begin{array}{l} \log_{a} \frac{x}{y} \cdot \log_{a} \frac{x}{z} \\ = (\log_{a} x - \log_{a} y) (\log_{a} x - \log_{a} z) \\ = {(\log_{a} x)}^{2} - (\log_{a} y + \log_{a} z) \log_{a} x + \log_{a} y \cdot \log_{a} z \\ \log_{a} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \log_{a} \sqrt{\frac{z}{y}} \\ = \frac{1}{4} \log_{a} \frac{y}{z} \cdot \log_{a} \frac{z}{y} \\ = \frac{1}{4} (\log_{a} y - \log_{a} z) (\log_{a} z - \log_{z} y) \\ X = \log_{a} x, Y = \log_{a} y, Z = \log_{a} Z \\ \log_{a} \frac{x}{y} \cdot \log_{a} \frac{x}{z} - \log_{a} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \log_{a} \sqrt{\frac{z}{y}} \\ = X^{2} - (Y + Z) X + Y Z + \frac{1}{4} {(Y - Z)}^{2} \\ = X^{2} - (Y + Z) X + \frac{1}{4} {(Y + Z)}^{2} \\ = {(X - \frac{1}{2} (Y + Z))}^{2} \geq 0 \\ \log_{a} \frac{x}{y} \cdot \log_{a} \frac{x}{z} \geq \log_{a} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \log_{a} \sqrt{\frac{z}{y}} \\ 等 号 が 成 り 立 つ の は 、 \\ X = \frac{1}{2} (Y + Z) \\ \log_{a} x = \frac{1}{2} (\log_{a} y + \log_{a} z) \\ 2 \log_{a} x = \log_{a} y z \\ \log_{a} x^{2} = \log_{a} y z \\ x^{2} = y z の と き 。 \end{array}

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