数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (対数に関する基本的な等式)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数の性質)、対数に関する基本的な等式、問17.を解いてみる。

問17.

$\begin{array}{l} \log_{10} 75 \\ = \log_{10} 5^{2} \cdot 3 \\ = 2 \log_{10} \frac{10}{2} + \log_{10} 3 \\ = 2 (\log_{10} 10 - \log_{10} 2) + \log_{10} 3 \\ = 2 (1 - u) + v \\ = 2 - 2 u + v \end{array}$
$\begin{array}{l} \log_{10} \frac{1}{81} \\ = \log_{10} 3^{- 4} \\ = - 4 \log_{10} 3 \\ = - 4 v \end{array}$
$\begin{array}{l} \log_{10} 0.48 \\ = \log_{10} \frac{48}{100} \\ = \log_{10} 48 - \log_{10} 100 \\ = \log_{10} 2^{4} \cdot 3 - 2 \\ = 4 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 2 \\ = 4 u + v - 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} \log_{10} 3^{2} \cdot 36^{- \frac{1}{3}} \\ = 2 \log_{10} 3 - \frac{1}{3} \log_{10} 2^{2} \cdot 3^{2} \\ = 2 \log_{10} 3 - \frac{1}{3} (2 \log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3) \\ = \frac{1}{3} (- 2 u + 4 v) \\ = \frac{2}{3} (- u + 2 v) \end{array}$

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