数学 – 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 – (対数に関する不等式の証明)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数の性質)、対数に関する不等式の証明、問26.を取り組んでみる。

問26.

1. 
   $\begin{array}{l}3{\log }_{4}3\\ =3·\frac{{\log }_{2}3}{{\log }_{2}4}\\ =3·\frac{{\log }_{2}3}{2{\log }_{2}2}\\ =\frac{3}{2}{\log }_{2}3<2{\log }_{2}3\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{3}^{\frac{1}{2}}<4^{\frac{1}{2}}=2=8^{\frac{1}{3}}<9^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}\\ 3^{\frac{1}{2}}<2<3^{\frac{2}{3}}\\ {\log }_3{3}^{\frac{1}{2}}<{\log }_{3}2<{\log }_3{3}^{\frac{2}{3}}\\ \frac{1}{2}<{\log }_{3}2<\frac{2}{3}\end{array}$