数学 – 整数 - 1次の合同式(連立合同式の解法)

代数系入門

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、7(1次の合同式)、問6.を取り組んでみる。

問6.

$\begin{array}{l}x=3+8t(t\in \mathbb{Z})\\ \\ 3+8t\equiv 11(\mathrm{mod}20)\\ 8t\equiv 8(\mathrm{mod}20)\\ 8\left(t-1\right)\equiv 0(\mathrm{mod}20)\\ 2^3\left(t-1\right)\equiv 0(\mathrm{mod}{2}^2·5)\\ t-1=5t\text{'}(t\text{'}\in \mathbb{Z})\\ t=5t\text{'}+1\\ x=3+8\left(5t\text{'}+1\right)\\ =11+40t\text{'}\\ \\ 11+40t\text{'}\equiv 1(\mathrm{mod}15)\\ 40t\text{'}\equiv -10(\mathrm{mod}15)\\ 40t\text{'}\equiv 5(\mathrm{mod}15)\\ 5\left(8t\text{'}-1\right)\equiv 0(\mathrm{mod}15)\\ 5\left(8t\text{'}-1\right)\equiv 0(\mathrm{mod}3·5)\\ 8t\text{'}-1\equiv 0(\mathrm{mod}3)\\ 8t\text{'}\equiv 1(\mathrm{mod}3)\\ t\text{'}=5+3t\text{'}\text{'}(t\text{'}\text{'}\in \mathbb{Z})\\ \\ x=11+40\left(5+3t\text{'}\text{'}\right)\\ =211+120t\text{'}\text{'}\\ x\equiv 211(\mathrm{mod}120)\\ x\equiv 91(\mathrm{mod}120)\end{array}$