数学 – 整数 - 1次の合同式(連立合同式の解法)

学習環境

代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、7(1次の合同式)、問6.を取り組んでみる。

問6.

\begin{array}{l} x = 3 + 8 t (t \in ℤ) \\ 3 + 8 t \equiv 11 (\mod 20) \\ 8 t \equiv 8 (\mod 20) \\ 8 (t - 1) \equiv 0 (\mod 20) \\ 2^{3} (t - 1) \equiv 0 (\mod 2^{2} \cdot 5) \\ t - 1 = 5 t' (t' \in ℤ) \\ t = 5 t' + 1 \\ x = 3 + 8 (5 t' + 1) \\ = 11 + 40 t' \\ 11 + 40 t' \equiv 1 (\mod 15) \\ 40 t' \equiv - 10 (\mod 15) \\ 40 t' \equiv 5 (\mod 15) \\ 5 (8 t' - 1) \equiv 0 (\mod 15) \\ 5 (8 t' - 1) \equiv 0 (\mod 3 \cdot 5) \\ 8 t' - 1 \equiv 0 (\mod 3) \\ 8 t' \equiv 1 (\mod 3) \\ t' = 5 + 3 t'' (t'' \in ℤ) \\ x = 11 + 40 (5 + 3 t'') \\ = 211 + 120 t'' \\ x \equiv 211 (\mod 120) \\ x \equiv 91 (\mod 120) \end{array}

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