数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - (ベクトルの内積、正三角形)

線型代数入門

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、4(ベクトルの内積)、問5.を解いてみる。

問5.

1. 
   $a·b=\left|a\right|\left|b\right|\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$
2. 
   $\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=a+\frac{1}{3}\left(-a+b\right)=\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b\\ \overrightarrow{ON}=a+\frac{2}{3}\left(-a+b\right)=\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b\\ \\ \overrightarrow{OM}·\overrightarrow{ON}=\left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b\right)·\left(\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b\right)\\ =\frac{2}{9}a·a+\frac{4}{9}a·b+\frac{1}{9}b·a+\frac{2}{9}b·b\\ =\frac{2}{9}{\left|a\right|}^2+\frac{5}{9}·\frac{1}{2}+\frac{2}{9}{\left|b\right|}^2\\ =\frac{4}{9}+\frac{5}{18}\\ =\frac{13}{18}\end{array}$