数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - ベクトルの内積(平行四辺形の面積)

線型代数入門

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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、4(ベクトルの内積)、問7.を解いてみる。

問7.

$\begin{array}{l}{S}^2={\left(\left|b\right|\left|\left|a\right|\right|\sin \theta \right)}^2\\ ={\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2{\sin }^2\theta \\ ={\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2\left(1-{\cos }^2\theta \right)\\ ={\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2-{\left(\left|a\right|\left|b\right|\cos \theta \right)}^2\\ ={\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2-{\left(a·b\right)}^2\\ \\ S=\sqrt{{\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2-{\left(a·b\right)}^2}\end{array}$