数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - ベクトルの内積(三角形の座標、面積)

線型代数入門

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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、4(ベクトルの内積)、問9.を解いてみる。

問9.

$\begin{array}{l}A\left(2,1\right),B\left(-1,3\right),C\left(3,6\right)\\ \overrightarrow{AB}=\left(-3,2\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(1,5\right)\\ \left(\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}\right)·\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}-t{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=0\\ t=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2}=\frac{\left(-3,2\right)·\left(1,5\right)}{{\left|\left(1,5\right)\right|}^2}=\frac{7}{26}\\ S=\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{AB}-\frac{7}{26}\overrightarrow{AC}\right|\frac{1}{2}\\ =\left|\left(1,5\right)\right|\left|\left(-3,2\right)-\frac{7}{26}\left(1,5\right)\right|\frac{1}{2}\\ =\sqrt{26}·\left|\frac{\left(-85,17\right)}{26}\right|\frac{1}{2}\\ =\frac{\sqrt{26}}{26}\left|17\left(-5,1\right)\right|\frac{1}{2}\\ =\frac{17\sqrt{26}\sqrt{26}}{2·26}\\ =\frac{17}{2}\end{array}$