数学 – 整数 - Eulerの定理とFermatの定理(Fermatの定理の証明)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、9(Eulerの定理とFermatの定理)、問1.を解いてみる。

問1.

$\begin{array}{l}{x}_1=x_2=···=x_a=1\\ {\left(x_1+···+x_a\right)}^p\equiv x_1{}^p+···+x_a^p\left(\mathrm{mod}p\right)\\ a^p\equiv a\left(\mathrm{mod}p\right)\\ a\left(a^{p-1}-1\right)\equiv 0\left(\mathrm{mod}p\right)\\ \left(a,p\right)=1\\ a^{p-1}-1\equiv 0\left(\mathrm{mod}p\right)\\ a^{p-1}\equiv 1\left(\mathrm{mod}p\right)\end{array}$