数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (三角関数の合成、不等式)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の合成、問24.を取り組んでみる。

問24.

1. 
   $\begin{array}{l}\sin \theta -\cos \theta \\ =\sqrt{2}\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\sqrt{2}\cos \theta \frac{\pi }{4}\\ =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)>0\\ 2n\pi <\theta -\frac{\pi }{4}<\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{4}+2n\pi <\theta <\frac{5}{4}\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5}{4}\pi \end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}2\sin \frac{\pi }{3}\cos \theta -2\cos \frac{\pi }{3}\sin \theta \le 1\\ \sin \left(\frac{\pi }{3}-\theta \right)\le \frac{1}{2}\\ \sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)\ge -\frac{1}{2}\\ 2n\pi \le \theta -\frac{\pi }{3}\le \frac{7}{6}\pi +2n\pi ,\frac{11}{6}\pi +2n\pi \le \theta -\frac{\pi }{3}<2\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{3}+2n\pi \le \theta \le \frac{3}{2}\pi +2n\pi ,\frac{13}{6}\pi +2n\pi \le \theta <\frac{7}{3}\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{3}{2}\pi \\ \end{array}$