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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問9.を解いてみる。
問9.
A,B,C∈P(S)(AΔB)ΔC=((A−B)∪(B−A))ΔC=(((A−B)∪(B−A))−C)∪(C−((A−B)∪(B−A)))=(((A∩Bc)∪(B∩Ac))∩Cc)∪(C∩((A∩Bc)∪(B∩Ac))c)=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(C∩((Ac∪B)∩(Bc∪A)))=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(C∩((Ac∩Bc)∪(B∩A)))=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)∪(A∩B∩C)=(A∩B∩C)∪(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)=(A∩((B∩C)∪(Bc∩Cc)))∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)=(A∩((Bc∪C)∩(B∪Cc)))∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)=(A∩((B∩Cc)∪(C∩Bc))c)∪(((B∩Cc)∪(C∩Bc))∩Ac)=(A−((B−C)∪(C−B)))∪(((B−C)∪(C−B))−A)=AΔ((B−C)∪(C−B))=AΔ(BΔC)(AΔB)C=AΔ(BΔC)AΔϕ=(A−ϕ)∪(ϕ−A)=AϕΔA=(ϕ−A)∪(A−ϕ)=AAΔA=(A−A)∪(A−A)=ϕAΔB=(A−B)∪(B−A)=(B−A)∪(A−B)=BΔA
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