数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (余弦定理、正弦定理と三角形)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、余弦定理、問42.を取り組んでみる。

問42.

1. 
   $\begin{array}{l}\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\ \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\\ b^2=c^2\\ b=cの二等辺三角形\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}a\cos B=b\cos A\\ b\cos C=c\cos B\\ (1)より、\\ a=b=c\\ 正三角形\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}2Ra\sin A=2R\sin B\\ a^2=b^2\\ a=bの二等辺三角形\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\ \frac{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2bc}=\frac{b\left(c^2+a^2-b^2\right)}{2ca}\\ a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)=b^2\left(c^2+a^2-b^2\right)\\ a^2{b}^2+a^2{c}^2-a^4=b^2{c}^2+a^2{b}^2-b^4\\ a^4-c^2{a}^2-b^4+b^2{c}^2=0\\ a^4-c^2{a}^2-b^2\left(b^2-c^2\right)=0\\ \left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)=0\\ a^2=b^2\\ a=bの二等辺三角形\\ または、\\ a^2+b^2-c^2=0\\ a^2+b^2=c^2\\ Cが直角な直角三角形\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \frac{c^2+a^2-b^2}{2c}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}=c\\ a^2-b^2=c^2\\ a^2=b^2+c^2\\ Aが直角な直角三角形\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}2R\sin C\left(\cos A+\cos B\right)=2R\sin A+2R\sin B\\ c\left(\cos A+\cos B\right)=a+b\\ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\ \frac{b^2+c^2-a^2}{2b}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}=a+b\\ a\left(b^2+c^2-a^2\right)+b\left(c^2+a^2-b^2\right)=2a^{2}b+2a{b}^2\\ a{b}^2+a{c}^2-a^3+b{c}^2+a^{2}b-b^3=2a^{2}b+2a{b}^2\\ a^3+a^{2}b+a{b}^2-a{c}^2+b^3-b{c}^2=0\\ a^3+b{a}^2+\left(b^2-c^2\right)a+b\left(b^2-c^2\right)=0\\ a^2\left(a+b\right)+\left(b^2-c^2\right)\left(a+b\right)=0\\ \left(a^2+b^2-c^2\right)\left(a+b\right)=0\\ a^2+b^2-c^2=0\\ a^2+b^2=c^2\\ Cが直角な直角三角形\end{array}$