数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (いくつかの興味ある問題、半円、内接する長方形、面積、周の最大値)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、いくつかの興味ある問題、問47.を取り組んでみる。

問47.

$\begin{array}{l}0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\\ OC=r\cos \theta \\ DC=r\sin \theta \end{array}$

1. 
   $\begin{array}{l}2r\cos \theta ·r\sin \theta \\ =2r^2\cos \theta \sin \theta \\ =r^2\sin \left(\theta +\theta \right)\\ =r^2\sin 2\theta \\ 0\le 2\theta \le \pi \\ 0\le \sin 2\theta \le 1\\ \sin 2\theta =1\\ 2\theta =\frac{\pi }{2}\\ \theta =\frac{\pi }{4}\\ r^2\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}2\left(DC+2OC\right)\\ =2\left(r\sin \theta +2r\cos \theta \right)\\ =2r\left(\sin \theta +2\cos \theta \right)\\ =2r\left(\sqrt{5}\left(\sin \theta \frac{1}{\sqrt{5}}+\cos \theta \frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right)\\ =2\sqrt{5}r\sin \left(\theta +{\theta }_0\right)\\ \cos {\theta }_0=\frac{1}{\sqrt{5}},\sin {\theta }_0=\frac{2}{\sqrt{5}},0<{\theta }_0<\frac{\pi }{2}\\ 0<\sin \left(\theta +{\theta }_0\right)\le 1\\ 2\sqrt{5}r\end{array}$