数学 - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications - ベクトルと行列(Vector & Matrix) - 行列のn乗を求める(行列に関する指数関数) - オイラーの贈物

オイラーの贈物

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第2部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications)、第9章(ベクトルと行列(Vector & Matrix))、9.6(行列のn乗を求める)、9.6.2(行列に関する指数関数)、問題6.を取り組んでみる。

問題6.

$\begin{array}{l}\det \left(A-\lambda E\right)\\ =\det \left(\begin{array}{cc}a-\lambda & 0\\ 0& b-\lambda \end{array}\right)\\ =\left(a-\lambda \right)\left(b-\lambda \right)\\ =0\\ \lambda =a,b\\ \\ e^A=\frac{e^b-e^a}{b-a}A+\frac{b{e}^a-a{e}^b}{b-a}E\\ =\frac{1}{b-a}\left(\begin{array}{cc}a\left(e^b-e^a\right)+b{e}^a-a{e}^b& 0\\ 0& b\left(e^b-e^a\right)+b{e}^a-a{e}^b\end{array}\right)\\ =\frac{1}{b-a}\left(\begin{array}{cc}\left(b-a\right)e^a& 0\\ 0& \left(b-a\right)e^b\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}{e}^a& 0\\ 0& e^b\end{array}\right)\end{array}$