数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (交点の位置ベクトルを求めること)

学習環境

数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Edge/Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めること、問30、31、32.を取り組んでみる。

問31.

$\begin{array}{l} \frac{2}{3} : 1 - \frac{2}{3} = 2 : 1 \\ \frac{7}{12} : 1 - \frac{7}{12} = 7 : 5 \end{array}$
$\begin{array}{l} \vec{A L} = k (\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{5}{12} \vec{c}) = \frac{(1 - l) \vec{b} + l \vec{c}}{l + (1 - l)} \\ \frac{1}{3} k \vec{b} + \frac{5}{12} k \vec{c} = (1 - l) \vec{b} + l \vec{c} \\ 1 - l = \frac{1}{3} k \\ l = \frac{5}{12} k \\ 1 - \frac{5}{12} k = \frac{1}{3} k \\ k = \frac{4}{3} \\ l = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5}{9} \\ \vec{A L} = \frac{4}{9} \vec{b} + \frac{5}{9} \vec{c} \\ l : 1 - l = \frac{5}{9} : \frac{4}{9} = 5 : 4 \end{array}$

問題31

\begin{array}{l} \vec{A P} = \frac{\vec{A B} + 2 \vec{A C}}{2 + 1} \\ = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c} \\ = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} (\vec{b} + \vec{d}) \\ = \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d} \\ \vec{A Q} = \frac{(1 - q) \vec{A B} + q \vec{A D}}{q + (1 - q)} = (1 - q) \vec{b} + q \vec{d} \\ m \vec{A Q} = \vec{A P} \\ m ((1 - q) \vec{b} + q \vec{d}) = \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d} \\ m - m q = 1 \\ m q = \frac{2}{3} \\ m - \frac{2}{3} = 1 \\ m = \frac{5}{3} \\ q = \frac{2}{5} \\ \vec{A Q} = \frac{3}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{d} \end{array}

問32

\begin{array}{l} \vec{A L} = (1 - l) \vec{b} + l \vec{c} \\ \vec{B M} = (1 - m) \vec{B C} + m \vec{B A} = (1 - m) (\vec{c} - \vec{b}) - m \vec{b} = - \vec{b} + (1 - m) \vec{c} \\ \vec{C N} = (1 - n) \vec{C A} + n \vec{C B} = (n - 1) \vec{c} + n (\vec{b} - \vec{c}) = n \vec{b} - \vec{c} \\ \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ p \vec{A P} = \vec{A L} \\ \frac{1}{3} p \vec{b} + \frac{1}{2} p \vec{c} = (1 - l) \vec{b} + l \vec{c} \\ \frac{1}{3} p = 1 - l \\ \frac{1}{2} p = l \\ \frac{1}{3} p = 1 - \frac{1}{2} p \\ p = \frac{6}{5}, l = \frac{3}{5} \\ q \vec{B P} = \vec{B M} \\ q (\vec{A P} - \vec{b}) = - \vec{b} + (1 - m) \vec{c} \\ \frac{1}{3} q \vec{b} + \frac{1}{2} q \vec{c} - q \vec{b} = - \vec{b} + (1 - m) \vec{c} \\ - \frac{2}{3} q = - 1 \\ q = \frac{3}{2} \\ \frac{3}{4} = 1 - m \\ m = \frac{1}{4} \\ r \vec{C P} = \vec{C N} \\ r (\vec{A P} - \vec{c}) = n \vec{b} - \vec{c} \\ \frac{1}{3} r \vec{b} + \frac{1}{2} r \vec{c} - r \vec{c} = n \vec{b} - \vec{c} \\ \frac{1}{3} r = n \\ - \frac{1}{2} r = - 1 \\ r = 2 \\ n = \frac{2}{3} \\ \vec{A L} = \frac{2}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c} . \vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{c}, \vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{b} \\ 3 : 2, 1 : 3, 2 : 1 \end{array}

Kamimura's blog