数学 - 解析学 - 基礎事項の復習 - 数と関数 - 不等式(満足する数の範囲)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第1部(基礎事項の復習)、第1章(数と関数)、2(不等式)、練習問題を取り組んでみる。

練習問題

22. 
    $\begin{array}{l}\left|\left(x+y\right)+\left(-y\right)\right|\le \left|x+y\right|+\left|-y\right|\\ \left|x\right|\le \left|x+y\right|+\left|y\right|\\ \left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|\end{array}$
23. 
    $\begin{array}{l}\left|\left(x-y\right)+y\right|\le \left|x-y\right|+\left|y\right|\\ \left|x\right|\le \left|x-y\right|+\left|y\right|\\ \left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|\end{array}$
24. 
    $\left|x-y\right|=\left|x+\left(-y\right)\right|\le \left|x\right|+\left|-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|$
25. 1. 
       $a^2<ab<b^2$
    2. 
       $\begin{array}{l}{a}^n<b^n\\ a^{n+1}=a^{n}a<b^{n}a<b^{n}b=b^{n+1}\end{array}$
26. 
    $\begin{array}{l}ad<bc\\ \left(b+d\right)c-\left(a+c\right)d\\ =bc+cd-ad-cd\\ =bc-ad>0\\ \frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\\ \\ \left(a+c\right)b-\left(b+d\right)a\\ =ab+bc-ab-ad\\ =bc-ad>0\\ \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\end{array}$
27. 
    $\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^2-4ab\\ =a^2+b^2+2ab-2ab\\ =a^2-2ab+b^2\\ ={\left(a-b\right)}^2\ge 0\\ {\left(a+b\right)}^2\ge 4ab\\ \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\end{array}$