数学 – 代数学 - 整数 - 最大公約数(倍数の集合)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、3(最大公約数)、問題3.を取り組んでみる。

問題3.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \\ a_1{x}_2+···+a_n{x}_n=m\\ d\left(a{\text{'}}_1{x}_1+···a{\text{'}}_n{x}_n\right)=m\left(a_i=da{\text{'}}_i\left(i=1,···,n\right)\right)\\ a{\text{'}}_1{x}_1+···a{\text{'}}_n{x}_n=\frac{m}{d}\\ a{\text{'}}_1{x}_1+···a{\text{'}}_n{x}_n\in \mathbb{Z}\\ \frac{m}{d}\in \mathbb{Z}\\ d|m\\ \\ \Leftarrow \\ m=dm\text{'}\\ d=a_1{u}_1+···+a_n{u}_n\left(u_i\in \mathbb{Z}\right)\\ \left(a_1{u}_1+···+a_n{u}_n\right)m\text{'}=dm\text{'}\\ a_1\left(u_{1}m\text{'}\right)+···a_n\left(u_{n}m\text{'}\right)=m\\ x_i=u_{i}m\text{'}\end{array}$