数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 – 直線・平面・球の方程式(球あるいは球面の方程式、アポロニススの円の空間への拡張の一例)

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と直線・平面・球の方程式/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式、問39、40、41、42.を取り組んでみる。

問39.

$\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5^{2} \\ 点 (2,-3,1) を中心とする半径 5 の球。 \end{array}$
$\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 7^{2} \\ 点 (-2,-2,5) を中心とする半径 7 の球。 \end{array}$

問40

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 36$
${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 16$
$\begin{array}{l} (1, - 2, - 3), \\ r^{2} = 1 + 4 + 9 = 14 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 14 \end{array}$
$\begin{array}{l} {(x - r)}^{2} + {(y - r)}^{2} + {(z - r)}^{2} = r^{2} \\ {(1 - r)}^{2} + {(4 - r)}^{2} + {(5 - r)}^{2} = r^{2} \\ 2 r^{2} - 20 r + 42 = 0 \\ r^{2} - 10 r + 21 = 0 \\ (r - 7) (r - 3) = 0 \\ r = 3, 7 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9 \\ {(x - 7)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 49 \end{array}$
$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} + A x + B y + C z + D = 0 \\ 1 + A + D = 0 \\ 4 + 2 B + D = 0 \\ 9 + 3 C + D = 0 \\ 1 + 4 + 9 + A + 2 B + 3 C + D = 0 \\ D = - A - 1 \\ B = \frac{- D - 4}{2} = \frac{A + 1 - 4}{2} = \frac{A - 3}{2} \\ C = \frac{- D - 9}{3} = \frac{A + 1 - 9}{3} = \frac{A - 8}{3} \\ 14 + A + A - 3 + A - 8 - A - 1 = 0 \\ A = - 1 \\ B = - 2 \\ C = - 3 \\ D = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - 2 y - 3 z = 0 \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{7}{2} \end{array}$

問41

$\begin{array}{l} P (x, y, z) \\ {(x + 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 2^{2} ({(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + z^{2} = 4 (x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + z^{2}) \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} - 12 x = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x = 0 \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 2^{2} \\ (2,0,0) を中心とする半径 2 の球。 \end{array}$

問42

$\begin{array}{l} {| \vec{p} - \vec{a} |}^{2} = 4 {| \vec{p} - \vec{b} |}^{2} \\ (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 4 (\vec{p} - \vec{b}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) \\ {| \vec{p} |}^{2} + {| \vec{a} |}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{p} = 4 {| \vec{p} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} - 8 \vec{b} \cdot \vec{p} \\ 3 {| \vec{p} |}^{2} + 2 (\vec{a} - 4 \vec{b}) \cdot \vec{p} - {| \vec{a} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} = 0 \\ 3 {| \vec{p} |}^{2} - 6 \vec{c} \cdot \vec{p} - {| \vec{a} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} = 0 \\ 3 ({| \vec{p} |}^{2} - 2 \vec{c} \cdot \vec{p}) - {| \vec{a} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} = 0 \\ 3 ({| \vec{p} |}^{2} - 2 \vec{c} \cdot \vec{p} + {| \vec{c} |}^{2}) - {| \vec{a} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} = 3 {| \vec{c} |}^{2} \\ 3 {| \vec{p} - \vec{c} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 4 {| \vec{b} |}^{2} + 3 {| \vec{c} |}^{2} \\ {| \vec{a} |}^{2} - 4 {| \vec{b} |}^{2} + 3 {| \vec{c} |}^{2} \\ = {| \vec{a} |}^{2} - 4 {| \vec{b} |}^{2} + 3 {| \frac{4 \vec{b} - \vec{a}}{3} |}^{2} \\ = {| \vec{a} |}^{2} - 4 {| \vec{b} |}^{2} + \frac{1}{3} (4 \vec{b} - \vec{a}) \cdot (4 \vec{b} - \vec{a}) \\ = {| \vec{a} |}^{2} - 4 {| \vec{b} |}^{2} + \frac{1}{3} (16 {| \vec{b} |}^{2} + {| \vec{a} |}^{2} - 8 \vec{a} \cdot \vec{b}) \\ = \frac{1}{3} (4 {| \vec{a} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} - 8 \vec{a} \cdot \vec{b}) \\ = \frac{4}{3} {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ 3 {| \vec{p} - \vec{c} |}^{2} = \frac{4}{3} {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ | \vec{p} - \vec{c} | = \frac{2}{3} | \vec{a} - \vec{b} | \\ | \vec{p} - \vec{c} | = r \end{array}$

Kamimura's blog

2016年10月29日土曜日

数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 – 直線・平面・球の方程式(球あるいは球面の方程式、アポロニススの円の空間への拡張の一例)

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