数学 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(共通部分、等式)

集合・位相入門

学習環境

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(添数づけられた族、一般の直積)、問題9.を取り組んでみる。

問題9.

$\begin{array}{l}{\left(c_{\lambda }\right)}_{{}_{\lambda }\in \Delta }\in \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{B}_{\lambda }}\right)\\ \iff \\ {\left(c_{\lambda }\right)}_{{}_{\lambda }\in \Delta }\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{A}_{\lambda }}\wedge {\left(c_{\lambda }\right)}_{{}_{\lambda }\in \Delta }\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{B}_{\lambda }}\\ \iff \\ \forall \lambda \in \Delta \left[c_{\lambda }\in A_{\lambda }\wedge c_{\lambda }\in B_{\lambda }\right]\\ \iff \\ \forall \lambda \in \Delta \left[c_{\lambda }\in A_{\lambda }\cap B_{\lambda }\right]\\ \iff \\ {\left(c_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Delta }\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }\left(A_{\lambda }\cap B_{\lambda }\right)}\\ \\ \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{B}_{\lambda }}\right)=\left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \prod _{\lambda \in \Delta }{B}_{\lambda }}\right)\end{array}$