数学 – 代数学 - 群 - 写像(包含関係、逆像、単射)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、1(写像)、問題2.を取り組んでみる。

問題2.

(a)の第2式

$\begin{array}{l}y\in f\left(U\right)\cap f\left(W\right)\\ \Rightarrow \\ y\in f\left(U\right)\wedge y\in f\left(W\right)\\ \Rightarrow \\ \exists x_1\in U\left[f\left(x_1\right)=y\right]\wedge \exists x_2\in W\left[f\left(x_2\right)=y\right]\\ \Rightarrow \\ \exists x_1\in U,\exists x_2\in W\left[f\left(x_1\right)=y\wedge f\left(x_2\right)=y\right]\\ \Rightarrow \\ \exists x_1\in U,\exists x_2\in W\left[x_1=x_2\wedge f\left(x_1\right)=y\right]\\ \Rightarrow \\ \exists x\in S\left[x\in U\cap W\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow \\ y\in f\left(U\cap W\right)\end{array}$

(c)

$\begin{array}{l}x\in f^{-1}\left(f\left(U\right)\right)\\ f\left(x\right)\in f\left(U\right)\\ x\in U\end{array}$