数学 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(右逆写像、全射、値域、恒等写像)

集合・位相入門

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(添数づけられた族、一般の直積)、問題11.を取り組んでみる。

問題11.

$\begin{array}{l}V\left(s\right)\subset V\left(s^{\prime }\right)\\ y\in B\\ f°s\left(y\right)=y\\ f°s\text{'}\left(y\right)=y\\ f\left(s\left(y\right)\right)=y\\ f\left(s^{\prime }\left(y\right)\right)=y\\ \\ s\left(y\right)\ne s\text{'}\left(y\right)\\ と仮定する。\\ \exists x_0\in V\left(s\right)\left[s\left(y\right)=x_0\wedge f\left(x_0\right)=y\right]\\ x_0\in V\left(s^{\prime }\right)\\ \exists y_0\in D\left(s^{\prime }\right)\left[s\text{'}\left(y_0\right)=x_0\right]\\ f\left(s^{\prime }\left(y_0\right)\right)=f\left(x_0\right)=y\\ y_0=y\\ s\left(y\right)=s\text{'}\left(y_0\right)=s\text{'}\left(y\right)\\ s\left(y\right)=s\text{'}\left(y\right)\\ 矛盾。よって、\\ s=s\text{'}\\ \\ V\left(s^{\prime }\right)\subset V\left(s\right)\\ の場合も同様。\end{array}$