数学 – 代数学 - 群 - 写像(全単射、恒等写像、逆写像)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、1(写像)、問題5.を取り組んでみる。

問題5.

$\begin{array}{l}y\in S\text{'}\\ f°g\left(y\right)=y\\ f\left(g\left(y\right)\right)=y\\ 全射。\\ \\ y_1,y_2\in S\text{'}\\ f\left(y_1\right)=f\left(y_2\right)\\ g\left(f\left(y_1\right)\right)=g\left(f\left(y_2\right)\right)\\ g°f\left(y_1\right)=g°f\left(y_2\right)\\ I_s\left(y_1\right)=I_s\left(y_2\right)\\ y_1=y_2\\ 単射。\\ \\ 全単射。\\ \\ \\ y\in S\text{'}\\ \exists x\in S\left[f\left(x\right)=y\right]\\ f^{-1}\left(y\right)=x\\ g\left(y\right)\\ =g\left(f\left(x\right)\right)\\ =g°f\left(x\right)\\ =I_s\left(x\right)\\ =x\\ f^{-1}=g\end{array}$