数学 – 代数学 - 群 - 群とその例(結合的な乗法)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題3.を取り組んでみる。

問題3.

$\begin{array}{l}a\in G\\ b\in G\\ \exists e_0\in G\left[b{e}_0=b\right]\\ \exists v\in G\left[vb=a\right]\\ a{e}_0=\left(vb\right)e_0\\ =v\left(b{e}_0\right)\\ =vb\\ =a\\ \\ c\in G\\ \exists e_1\in G\left[e_{1}c=c\right]\\ \exists u\in G\left[cu=a\right]\\ e_{1}a=e_1\left(cu\right)\\ =\left(e_{1}c\right)u\\ =cu\\ =a\\ \\ e_0=e_1{e}_0=e_1\\ e_0=e_1\\ \\ e_0=e_1=e\\ ae=ea\\ \\ \exists u_0\in G\left[a{u}_0=e\right]\\ \exists v_0\in G\left[v_{0}a=e\right]\\ u_0=e{u}_0\\ =\left(v_{0}a\right)u_0\\ =v_0\left(a{u}_0\right)\\ =v_{0}e\\ =v_0\\ u_0=v_0\\ u_0=v_0=a^{-1}\\ a{a}^{-1}=a^{-1}a=e\end{array}$