数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - 等差数列の和(色々な等差数列)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等差数列の和、問7、8、9、10、11.を取り組んでみる。

問7.

1. 
   $\begin{array}{l}{a}_n=-3n+27\\ \frac{n\left(24-3n+27\right)}{2}=105\\ 3n^2-51n+210=0\\ n^2-17n+70=0\\ \left(n-7\right)\left(n-10\right)=0\\ n=7,10\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}-3n^2+51n\\ =-3\left(n^2-17\right)\\ =-3{\left(n-\frac{17}{2}\right)}^2+A\\ S_n=\frac{-3n\left(n-17\right)}{2}\\ S_8=\frac{-24·\left(-9\right)}{2}=108\\ S_9=\frac{-27\left(-8\right)}{2}=108\\ n=8,9\end{array}$

問8

1. 
   $\begin{array}{l}{a}_n=95+5n\\ 95+5n=995\\ n=180\\ \frac{180\left(100+995\right)}{2}=90·1095=98550\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{a}_n=98+5n\\ 98+5n=998\\ n=180\\ \frac{180\left(103+998\right)}{2}=90·1101=99090\end{array}$

問9

2で割り切れる数の個数は500、5で割り切れる数の個数は200、2でも5でも割り切れる数(2と5の最小公倍数10の倍数)の個数は100。よって、2でも5でも割り切れない数の個数。

$1000-500-200+100=400$

総和。

$\begin{array}{l}\frac{1000·1001}{2}-\frac{500·1002}{2}-\frac{200·1005}{2}+\frac{100·1010}{2}\\ =500500-250500-100500+50500\\ =200000\end{array}$

問10

$\begin{array}{l}{b}_n=2n-1\\ c_n=n\\ C_n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ \\ a=b_{C_{n-1}+1}=2\left(C_{n-1}+1\right)-1=\left(n-1\right)n+1\\ S_n=\frac{n\left(\left(n-1\right)n+1+\left(\left(n-1\right)n+1+2\left(n-1\right)\right)\right)}{2}\\ =\frac{n\left(\left(n-1\right)\left(2n+2\right)+2\right)}{2}\\ =n\left(\left(n-1\right)\left(n+1\right)+1\right)\\ =n^3\end{array}$

問11

1. 
   $a_m=\frac{m\left(m+1\right)}{2}$
2. 
   $b_n=1+\left(1+2+···+\left(n-1\right)\right)=1+\frac{\left(n-1\right)n}{2}$
3. 
   $\begin{array}{l}{a}_{m+n-2}=\frac{\left(m+n-2\right)\left(m+n-1\right)}{2}\\ \frac{\left(m+n-2\right)\left(m+n-1\right)}{2}+m\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\frac{\left(m+n-2\right)\left(m+n-1\right)}{2}+m=100\\ \left(m+n-2\right)\left(m+n-1\right)+2m=200\\ 13·14=182\\ 14·15=210\\ m+n-2=13\\ m+n=15\\ 13·14+2m=200\\ 2m=18\\ m=9\\ n=6\end{array}$