数学 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(合成写像、写像の存在、単射)

集合・位相入門

学習環境

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(添数づけられた族、一般の直積)、問題14.を取り組んでみる。

問題14.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \\ a\in A\\ f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)\\ \Rightarrow \\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(f\left(a^{\prime }\right)\right)\\ \Rightarrow \\ g°f\left(a\right)=g°f\left(a^{\prime }\right)\\ \Rightarrow \\ h\left(a\right)=h\left(a^{\prime }\right)\\ \\ \\ \Leftarrow \\ c_0\in C\\ b\in B\\ \\ b\in V\left(f\right)\\ \exists a_0,a_1\in A\left[f\left(a_0\right)=b\wedge f\left(a_1\right)=b\right]\\ f\left(a_0\right)=f\left(a_1\right)\\ h\left(a_0\right)=h\left(a_1\right)\\ \exists 1c\in C\left[h\left(a_0\right)=h\left(a_1\right)=c\right]\\ g\left(b\right)=c\\ \\ b\notin V\left(f\right)\\ g\left(b\right)=c_0\\ \\ a\in A\\ g°f\left(a\right)\\ =g\left(f\left(a\right)\right)\\ =h\left(a\right)\\ g°f=h\end{array}$