数学 - 集合論 - 集合算 - 関係、同値関係、商集合(逆像)

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合論入門 (基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.8(関係、同値関係、商集合)の練習問題12、13.を取り組んでみる。

練習問題 13.

$\begin{array}{l}a,b,c\in X\\ \\ f\left(a\right)=f\left(a\right)\\ \iff f\left(a\right)Rf\left(a\right)\\ \iff aR\text{'}a\\ \\ aR\text{'}b\\ \iff f\left(a\right)Rf\left(b\right)\\ \Rightarrow f\left(b\right)Rf\left(a\right)\\ \iff bR\text{'}a\\ \\ aR\text{'}b\wedge bR\text{'}c\\ \iff f\left(a\right)Rf\left(b\right)\wedge f\left(b\right)Rf\left(c\right)\\ \Rightarrow f\left(a\right)Rf\left(c\right)\\ \iff aR\text{'}c\end{array}$

$\begin{array}{l}f:X/R\text{'}\to Y/R\\ f\left(C_x\right)=C{\text{'}}_{f\left(x\right)}\\ f:C_x\to C{\text{'}}_{f\left(x\right)}\\ \\ \\ 単射\\ C_a,C_b\in X/R\text{'}\\ f\left(C{\text{'}}_a\right)=f\left(C{\text{'}}_b\right)\\ C_{f\left(a\right)}=C_{f\left(b\right)}\\ f\left(a\right)R\text{'}f\left(b\right)\\ aR\text{'}b\\ C{\text{'}}_a=C{\text{'}}_b\\ \\ \\ fが全射の場合。\\ C_y\in Y/R\\ \exists x\in X\left[f\left(x\right)=y\right]\\ yRy\\ f\left(x\right)Rf\left(x\right)\\ xR\text{'}x\\ f\left(C_x\right)=C_{f\left(x\right)}=C_y\\ \\ \\ X/R\text{'}\simeq Y/R\end{array}$