数学 - 集合論 - 集合算 - 積集合、ファイバー積

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合論入門 (基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.7(積集合、ファイバー積)の練習問題9、10.を取り組んでみる。

練習問題 9.

(1.66)

$\begin{array}{l}\left(x,y\right)\in \left(A\times B\right)\cap \left(A\text{'}\times B\text{'}\right)\\ \iff x\in A\cap A\text{'}\wedge y\in B\cap B\text{'}\\ \iff \left(x,y\right)\in \left(A\cap A\text{'}\right)\times \left(B\cap B\text{'}\right)\end{array}$

(1.67)

$\begin{array}{l}\left(x,y\right)\in \left(A\times B\right)\cup \left(A\times B\text{'}\right)\cup \left(A\text{'}\times B\right)\cup \left(A\text{'}\times B\text{'}\right)\\ \iff \left(x\in A\wedge y\in B\right)\vee \left(x\in A\wedge y\in B\text{'}\right)\vee \left(x\in A\text{'}\wedge y\in B\right)\vee \left(x\in A\text{'}\wedge y\in B\text{'}\right)\\ \iff \left(x\in A\wedge y\in B\cup B\text{'}\right)\vee \left(x\in A\text{'}\wedge y\in B\cup B\text{'}\right)\\ \iff x\in A\cup A\text{'}\wedge y\in B\cup B\text{'}\\ \iff \left(x,y\right)\in \left(A\cup A\text{'}\right)\times \left(B\cup B\text{'}\right)\end{array}$

練習問題 10.

$\begin{array}{l}\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\in X\text{'}\\ f\text{'}\left(\left(x_1,y_1\right)\right)=f\text{'}\left(\left(x_2,y_2\right)\right)\\ \\ y_1=y_2\\ \\ f\left(x_1\right)=g\left(y_1\right)\\ f\left(x_2\right)=g\left(y_2\right)\\ \\ f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\\ x_1=x_2\\ \\ \left(x_1,y_1\right)=\left(x_2,y_2\right)\\ \\ \\ b\text{'}\in B\text{'}\\ g\left(b^{\prime }\right)\in B\\ b=g\left(b\text{'}\right)\\ \exists x\in X\left[f\left(x\right)=b\right]\\ f\left(x\right)=g\left(b^{\prime }\right)\\ \left(x,b^{\prime }\right)\in X\text{'}\\ f\text{'}\left(\left(x,b^{\prime }\right)\right)=b\text{'}\end{array}$