数学 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(写像の集合、右逆写像、左逆写像、全射、単射、全単射、恒等写像)

集合・位相入門

学習環境

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(添数づけられた族、一般の直積)、問題15.を取り組んでみる。

問題15.

$O:\mathfrak{F}\left(A,B\right)\to \mathfrak{F}\left(A^{\prime },B\text{'}\right)$
1. 
   $\begin{array}{l}u\text{'}をuの右逆写像、v\text{'}をvの左逆写像をとする。\\ u\text{'}:A\to A\text{'}\\ v\text{'}:B\text{'}\to B\\ \\ f_1,f_2\in \mathfrak{F}\left(A,B\right)\\ \\ O\left(f_1\right)=O\left(f_2\right)\\ \Rightarrow \\ v°f_1°u=v°f_2°u\\ \Rightarrow \\ v\text{'}°v°f_1°u°u\text{'}=v\text{'}°v°f_2°u°u\text{'}\\ \Rightarrow \\ I_B°f_1°I_A=I_b°f_2°I_A\\ \Rightarrow \\ f_1=f_2\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}u\text{'}をuの左逆写像、v\text{'}をvの右逆写像とする。\\ u\text{'}:A\to A\text{'}\\ v\text{'}:B\text{'}\to B\\ \\ g\in \mathfrak{F}\left(A\text{'},B\text{'}\right)\\ f=v\text{'}°g°u\text{'}\\ f\in \mathfrak{F}\left(A,B\right)\\ O\left(f\right)\\ =v°f°u\\ =v°v\text{'}°g°u\text{'}°u\\ =I_{B^{\prime }}°g°I_{A^{\prime }}\\ =g\end{array}$