数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 曲線の傾き

解析入門 原書第3版
原著

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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、1(曲線の傾き)、練習問題を取り組んでみる。

練習問題

1. 
   $\begin{array}{l}\frac{2{\left(1+h\right)}^2-2}{\left(1+h\right)-1}=\frac{4h+2h^2}{h}=4+2h\\ 4\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\frac{{\left(-1+h\right)}^2+1-\left(1+1\right)}{-1+h-\left(-1\right)}=\frac{-2h+h^2}{h}=-2+h\\ -2\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{2\left(2+h\right)-7-\left(2·2-7\right)}{h}=\frac{2h}{h}=2\\ 2\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\frac{{\left(\frac{1}{2}+h\right)}^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}{h}\\ =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}h+3·\frac{1}{2}{h}^2+h^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}{h}\\ =\frac{3}{4}+\frac{3}{2}h+h^2\\ \frac{3}{4}\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\frac{\frac{2-2-h}{2\left(2+h\right)}}{h}=\frac{-h}{2h\left(h+2\right)}=\frac{-1}{2h+4}\\ -\frac{1}{4}\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}\frac{{\left(-1+h\right)}^2+2\left(-1+h\right)-\left(1-2\right)}{h}\\ =\frac{1-2h+h^2-2+2h+1}{h}\\ =h\\ 0\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}\frac{{\left(2+h\right)}^2-2^2}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h\\ 4\end{array}$
8. 
   $\begin{array}{l}\frac{{\left(3+h\right)}^2-3^2}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h\\ 6\end{array}$
9. 
   $\begin{array}{l}\frac{{\left(1+h\right)}^3-1^3}{h}=\frac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2\\ 3\end{array}$
10. 
    $\begin{array}{l}\frac{{\left(2+h\right)}^3-2^3}{h}=\frac{12h+6h^2+h^3}{h}=12+6h+h^2\\ 12\end{array}$
11. 
    $\begin{array}{l}\frac{2\left(2+h\right)+3-\left(2·2+3\right)}{h}=\frac{2h}{h}=2\\ 2\end{array}$
12. 
    $\begin{array}{l}\frac{3\left(1+h\right)-5-\left(3-5\right)}{h}=\frac{3h}{h}=3\\ 3\end{array}$
13. 
    $\begin{array}{l}\frac{a\left(x+h\right)+b-\left(ax+b\right)}{h}=\frac{ah}{h}=a\\ a\end{array}$