数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - 等比数列の和

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等比数列の和、問17.を取り組んでみる。

問17.

1. 
   $\frac{3\left(2^6-1\right)}{2-1}=189$
2. 
   $\begin{array}{l}\frac{9\left(1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^7\right)}{1+\frac{1}{3}}\\ =\frac{3·9}{4}\left(1+\frac{1}{3^7}\right)\\ =\frac{3^3}{4}\frac{3^7+1}{3^7}\\ =\frac{2188}{4·3^4}\\ =\frac{547}{81}\end{array}$
3. 
   $\frac{3\left(1+2^8\right)}{1+2}=257$
4. 
   $\begin{array}{l}{a}_n={\left(-2\right)}^{n-1}\\ S_n=\frac{1-{\left(-2\right)}^n}{1+2}=\frac{1-{\left(-2\right)}^n}{3}\end{array}$
5. 
   $S_n=\frac{3\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$