数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - 平方の和、立方の和

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、平方の和、立方の和、問19.を取り組んでみる。

問19.

$\begin{array}{l} \frac{1}{6} \cdot 10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1) \\ = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \\ = 385 \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{1}{6} \cdot 20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1) - \frac{1}{6} \cdot 10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1) \\ = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41 - 10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \\ = \frac{10 \cdot 21 (2 \cdot 41 - 11)}{6} \\ = 5 \cdot 7 \cdot 71 \\ = 2485 \end{array}$
$\begin{array}{l} {(\frac{1}{2} \cdot 10 (10 + 1))}^{2} \\ = {(5 \cdot 11)}^{2} \\ = 3025 \end{array}$
$\begin{array}{l} {(\frac{1}{2} \cdot 20 (20 + 1))}^{2} - {(\frac{1}{2} \cdot 10 (10 + 1))}^{2} \\ = {(\frac{10}{2})}^{2} (42^{2} - 11^{2}) \\ = 25 \cdot 53 \cdot 31 \\ = 41075 \end{array}$

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