数学 - 解析学 - JavaScript - 数列と級数 - 数列の収束条件(部分列極限、単調増加、単調減少、有界)

解析入門〈1〉数/数列と級数/関数の極限と連続性/微分法/各種の初等関数 (岩波オンデマンドブックス) オンデマンド (ペーパーバック) – 2016/7/12

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
Emacs (Text Editor)
JavaScript (プログラミング言語)
D3.js (JavaScript Library)
参考書籍
- JavaScript 第6版 (David Flanagan(著)、村上列(翻訳)、オライリージャパン)
- JavaScriptリファレンス第6版(David Flanagan(著)、木下哲也(翻訳)、オライリージャパン)
- インタラクティブ・データビジュアライゼーション(Scott Murray (著)、長尾高弘 (翻訳)、オライリージャパン)

解析入門〈1〉(松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題2.2、4-a、b.を取り組んでみる。

問題2.2、4-a、b.

$\begin{array}{l} a_{n} - a_{n + 2} \\ = a_{n} - \frac{a_{n + 1} + α}{a_{n + 1} + 1} \\ = a_{n} - \frac{\frac{a_{n} + α}{a_{n} + 1} + α}{\frac{a_{n} + α}{a_{n} + 1} + 1} \\ = a_{n} - \frac{a_{n} + α + α (a_{n} + 1)}{a_{n} + 1} \cdot \frac{a_{n} + 1}{a_{n} + α + a_{n} + 1} \\ = a_{n} - \frac{(1 + α) a_{n} + 2 α}{2 a_{n} + α + 1} \\ = \frac{2 a_{n}^{2} + (α + 1) a_{n} - (α + 1) a_{n} - 2 α}{2 a_{n} + α + 1} \\ = \frac{2 (a_{n}^{2} - α)}{2 a_{n} + α + 1} \\ a_{n + 1} - \sqrt{α} \\ = \frac{a_{n} + α}{a_{n} + 1} - \sqrt{α} \\ = \frac{a_{n} + α - \sqrt{α} a_{n} - \sqrt{α}}{a_{n} + 1} \\ = \frac{(1 - \sqrt{α}) a_{n} + \sqrt{α} (\sqrt{α} - 1)}{a_{n} + 1} \\ = \frac{(\sqrt{α} - 1) (\sqrt{α} - a_{n})}{a_{n} + 1} \\ a_{n} < \sqrt{α} \Rightarrow a_{n} < a_{n + 2} \\ a_{n} > \sqrt{a} \Rightarrow a_{n} > a_{n + 2} \\ a_{1} < \sqrt{α} \\ a_{2} - \sqrt{α} = \frac{(\sqrt{α} - 1) (\sqrt{α} - a_{1})}{a_{1} + 1} > 0 \\ a_{2} > \sqrt{α} \end{array}$
$\begin{array}{l} a_{2 n - 1} < \sqrt{α} \\ a_{2 n} > \sqrt{α} \\ a_{n + 2} = \frac{\frac{a_{n} + α}{a_{n} + 1} + α}{\frac{a_{n} + α}{a_{n} + 1} + 1} \\ β = \frac{\frac{β + α}{β + 1} + α}{\frac{β + α}{β + 1} + 1} \\ β = \frac{(1 + α) β + 2 α}{2 β + α + 1} \\ 2 β^{2} + α β + β = β + α β + 2 α \\ β^{2} = α \\ β = \sqrt{α} \end{array}$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<div id="output0"></div>
<label for="alpha0">α = </label>
<input id="alpha0" type="number" min="1" value="5">
<label for="a1">a1 = </label>
<input id="a1" type="number" min="0" value="2">
<label for="n0">n = </label>
<input id="n0" type="number" min="1" step="1" value="10">


<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>
<script src="sample4.js"></script>

JavaScript

{
    let div_graph = document.querySelector('#graph0'),
        div_output = document.querySelector('#output0'),
        input_alpha = document.querySelector('#alpha0'),
        input_a = document.querySelector('#a1'),
        input_n = document.querySelector('#n0'),
        inputs = [input_alpha, input_a, input_n],
        width = 600,
        height = 600,
        padding = 50;

    let f = (alpha, prev) => {
        return (prev + alpha) / (prev + 1);
    };
    let getPoints = (alpha, a1, n) => {
        let prev = a1,
            result = [[1, prev]];

        for (let i = 2; i <= n; i += 1) {
            let next = f(alpha, prev);
            result.push([i, next]);
            prev = next;
        }
        return result;
    }
    let plot = () => {
        let alpha = parseFloat(input_alpha.value),
            a1 = parseFloat(input_a.value);

        if (alpha > 1 && 0 < a1 && a1 < Math.sqrt(alpha)) {
            let n = parseInt(input_n.value, 10),
                points = getPoints(alpha, a1, n);

            console.log(points);
            let xscale = d3.scaleLinear()
                .domain([1, n])
                .range([padding, width - padding])
            let yscale = d3.scaleLinear()
                .domain([points[0][1] * 0.9, points[1][1] * 1.1])
                .range([height - padding, padding]);

            console.log(points.map((x) => x[1]));
            div_graph.innerHTML = '';
            let svg = d3.select('#graph0')
                .append('svg')
                .attr('width', width)
                .attr('height', height);

            svg.selectAll('circle')
                .data(points)
                .enter()
                .append('circle')
                .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
                .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
                .attr('r', 2)
                .attr('color', 'green');

            let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
            let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);

            svg.append('line')
                .attr('x1', xscale(1))
                .attr('y1', yscale(Math.sqrt(alpha)))
                .attr('x2', xscale(n))
                .attr('y2', yscale(Math.sqrt(alpha)))
                .attr('stroke', 'red');
            
            svg.append('g')
                .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
                .call(xaxis);
            svg.append('g')
                .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
                .call(yaxis);

            div_output.innerHTML =
                points.map((x) => `${x[0]}: ${x[1]}`).join('<br>') +
                `<br>√α(Math.sqrt(${alpha})): ${Math.sqrt(alpha)}`;
            
        } else {
            div_output.innerHTML = '注意: α > 1, 0 < a1 < √α';
        }
    };

    inputs.forEach((input) => input.onchange = plot);
    plot();

}

α = a1 = n =

Kamimura's blog

2016年12月2日金曜日

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