数学 - 解析学 - 数列と級数 - 級数(正項級数の収束・発散、比較定理)

解析入門〈1〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

解析入門〈1〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題2.3、1.を取り組んでみる。

問題2.3、1.

1. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}}は発散するので{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n-1}も発散。}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{n\left(n+1\right)}<\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n^2}\\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}}は収束するので{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(n+1\right)}も収束。}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}>\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{n}\\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}は発散。}\end{array}$