数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - 階差数列と一般項

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、階差数列と一般項、問25.を取り組んでみる。

問25.

1. 
   $\begin{array}{l}1,3,5,7,9\\ b_n=2n-1\\ \\ n>1\\ a_n=2+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{b}_i}\\ =2+\left(n-1\right)n-\left(n-1\right)\\ =n^2-2n+3\\ \\ a_1=1^2-2+3\\ \\ a_n=n^2-2n+3\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}1,-3,9,-27,81,-243\\ b_n={\left(-3\right)}^{n-1}\\ \\ n>1\\ a_n=3+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\left(-3\right)}^{n-1}}\\ =3+\frac{1-{\left(-3\right)}^{n-1}}{1+3}\\ =\frac{13-{\left(-3\right)}^{n-1}}{4}\\ a_1=\frac{13-{\left(-3\right)}^0}{4}\\ \\ a_n=\frac{13-{\left(-3\right)}^{n-1}}{4}\end{array}$