数学 - 無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 – 極限の計算 - 極限の法則(3) - +∞、-∞に発散する数列

数学読本〈4〉

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数学読本〈4〉数列の極限，無限級数/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(2) - 極限値と不等式、問10、11、12.を取り組んでみる。

10. 1. 
       $\infty$
    2. 
       $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3\left(-1+\frac{8}{n^2}\right)=-\infty$
    3. 
       $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-4}{1+\frac{2}{n}}=\infty$
    4. 
       $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{4}{n}+5n}{\frac{2}{n^2}-3}=-\infty$
11. 1. 
       $\begin{array}{l}{a}_n={\left(-1\right)}^n\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\ne 1\wedge \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\ne -1\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}{a}_n=n^2,b_n=n\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n-b_n\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2-n\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(1-\frac{1}{n}\right)\\ =\infty \\ \ne 0\end{array}$
    3. 
       正しい。
    4. 
       $\begin{array}{l}{b}_n={\left(-2\right)}^n\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n+b_n\right)\ne +\infty \end{array}$
12. 1. 
       $a_n=n^2,b_n=n$
    2. 
       $a_n=n+{\left(-1\right)}^n,b_n=n$
    3. 
       $a_n=\frac{1}{n},b_n=n$
    4. 
       $a_n=-\frac{1}{n},b_n=n^2$
    5. 
       $a_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n},b_n=n$