数学 - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(放物線、法線、線分の長さ)

解析入門〈1〉数/微分法/微分法/微分法/各種の初等関数 (岩波オンデマンドブックス) オンデマンド (ペーパーバック) – 2016/7/12

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解析入門〈1〉(松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題4.2-4.を取り組んでみる。

問題4.2-4.

$\begin{array}{l} A (a, a^{2}), A (b, b^{2}) \\ y' = 2 x \\ y = - \frac{1}{2 a} x + c \\ a^{2} = - \frac{1}{2 a} a + c \\ c = a^{2} + \frac{1}{2 a} \\ y = - \frac{1}{2 a} x + a^{2} + \frac{1}{2 a} \\ x^{2} = - \frac{1}{2 a} x + a^{2} + \frac{1}{2 a} \\ x^{2} + \frac{1}{2 a} x - a^{2} + \frac{1}{2 a} = 0 \\ a b = - a^{2} + \frac{1}{2 a} \\ a + b = - \frac{1}{2 a} \\ b = - a - \frac{1}{2 a} = - \frac{2 a^{2} + 1}{2 a} \\ b^{2} = {(\frac{2 a^{2} + 1}{2 a})}^{2} \\ f (a) = {(a - b)}^{2} + {(a^{2} - b^{2})}^{2} \\ = {(a - b)}^{2} (1 + {(a + b)}^{2}) \\ = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) (1 + a^{2} + 2 a b + b^{2}) \\ = (a^{2} + 2 a^{2} + {(\frac{2 a^{2} + 1}{2 a})}^{2}) (1 + a^{2} - 2 a^{2} - 1 + {(\frac{2 a^{2} + 1}{2 a})}^{2}) \\ = (3 a^{2} + {(\frac{2 a^{2} + 1}{2 a})}^{2}) (- a^{2} + {(\frac{2 a^{2} + 1}{2 a})}^{2}) \\ f' (a) = (6 a + \frac{2 a^{2} + 1}{2 a} \cdot \frac{2 a^{2} - 1}{a^{2}}) (- 2 a + \frac{2 a^{2} + 1}{2 a} \cdot \frac{2 a^{2} - 1}{a^{2}}) \\ = (6 a + \frac{4 a^{2} - 1}{2 a^{3}}) (- 2 a + \frac{4 a^{2} - 1}{2 a^{3}}) \\ = \frac{12 a^{4} + 4 a^{2} - 1}{2 a^{3}} \cdot \frac{- 4 a^{4} + 4 a^{2} - 1}{2 a^{3}} \\ 12 a^{4} + 4 a^{2} - 1 = 0 \\ (6 a^{2} - 1) (2 a^{2} + 1) = 0 \\ a^{2} = \frac{1}{6} \\ 4 a^{4} - 4 a^{2} + 1 = 0 \\ {(2 a^{2} - 1)}^{2} = 0 \\ a^{2} = \frac{1}{2} \\ a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \\ A (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}) \\ b = - \frac{2 a^{2} + 1}{2 a} = \mp \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{2}}} = \mp \sqrt{2} \\ b^{2} = 2 \\ \sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2})}^{2} + {(2 - \frac{1}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{1}{2} + 2 + 2 + 4 + \frac{1}{4} - 2} \\ = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array}$

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