数学 - JavaScript - 無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 – 極限の計算 - 無限等比数列{r^n}の極限(平方根、近似、ニュートン法)

数学読本〈4〉

学習環境

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数学読本〈4〉数列の極限，無限級数/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^n}の極限、問19.を取り組んでみる。

問19

1. 
   $\begin{array}{l}{a}_1>\sqrt{\alpha }\\ a_n>\sqrt{\alpha }\\ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\alpha }{a_n}\right)\\ a_n^2\ne \alpha \\ a_n\ne \frac{\alpha }{a_n}\\ a_{n+1}>\sqrt{a_n·\frac{\alpha }{a_n}}>\alpha \\ \\ a_n>\sqrt{\alpha }\\ \\ \\ a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\alpha }{a_n}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(a_n-\frac{\alpha }{a_n}\right)\\ =\frac{1}{2a_n}\left(a_n{}^2-\alpha \right)\\ >0\\ \\ \\ a_{n+1}-\sqrt{\alpha }=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\alpha }{a_n}\right)-\sqrt{\alpha }\\ =\frac{1}{2a_n}\left(a_n{}^2-2\sqrt{\alpha }{a}_n+\alpha \right)\\ =\frac{1}{2a_n}{\left(a_n-\sqrt{\alpha }\right)}^2\\ a_{n+1}-\sqrt{\alpha }<\frac{1}{2\sqrt{\alpha }}{\left(a_n-\sqrt{\alpha }\right)}^2\\ b_n=a_n-\sqrt{\alpha }\\ b_n>0\\ b_{n+1}<\frac{1}{2\sqrt{\alpha }}{b}_n{}^2=2\sqrt{\alpha }{\left(\frac{b_n}{2\sqrt{\alpha }}\right)}^2\\ n\ge 2\\ b_n<2\sqrt{\alpha }{\left(\frac{b_1}{2\sqrt{\alpha }}\right)}^{2^n-1}\\ \frac{b_1}{2\sqrt{\alpha }}=\frac{a_1-\sqrt{\alpha }}{2\sqrt{\alpha }}\\ a_1<3\sqrt{\alpha }\\ \frac{b_1}{2\sqrt{\alpha }}<1\\ \underset{n\to \infty }{\lim }0<\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n<\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_1}{2\sqrt{\alpha }}\\ b_n=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sqrt{\alpha }\end{array}$
2. 
   α =
   n =
   a_1 =

コード(Emacs)

HTML5

α = <input id="alpha0" type="number" min="1" step="1" value="3">
<br>
n = <input id="n0" type="number" min="1" step="1" value="4">
<br>
a_1 = <input id="a0" type="number" min="0" step="1" value="2">
<div id="div0"></div>

<script src="sample19.js"></script>

コード(Emacs)

JavaScript

let input_a0 = document.querySelector('#a0'),
    input_alpha0 = document.querySelector('#alpha0'),
    input_n0 = document.querySelector('#n0'),
    inputs = [input_a0, input_alpha0, input_n0];    

let next = (a) => {
    let alpha = parseInt(input_alpha0.value, 10);
    
    return 1 / 2 * (a + alpha / a);
};

let output = () => {
    let a = parseInt(input_a0.value, 10),
        alpha = parseInt(input_alpha0.value, 10),
        n = parseInt(input_n0.value, 10),
        div0 = document.querySelector('#div0');

    div0.innerHTML = '';
    for (let i = 2; i <= n; i += 1) {
        a = next(a);
        div0.innerHTML += `a_${i} = ${a}<br>`;
    }
    div0.innerHTML += `Math.sqrt(${alpha}) = ${Math.sqrt(alpha)}`;
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = output);

output();