数学 - 無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 – 無限級数 - 無限級数とその和

数学読本〈4〉

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数学読本〈4〉数列の極限，無限級数/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無限級数とその和、問20.を取り組んでみる。

問20

1. 
   $\begin{array}{l}{S}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}}\\ =\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)}\\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{2}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{S}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{n+1}-1}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=+\infty \end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}{S}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\sin \frac{k}{2}\pi }=1+0-1+0···\\ n=4m\\ S_n=0\\ n=4m+1\\ S_n=1\\ n=4m+2\\ S_n=1\\ n=4m+3\\ S_n=0\\ 発散(振動)\end{array}$