数学 - JavaScript - 「場合の数」 を数える - 順列・組合せ – 二項定理 - 二項定理の応用、二項定理の性質

数学読本〈4〉

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数学読本〈4〉数列の極限，順列/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第15章(「場合の数」 を数える - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、二項定理の応用、二項定理の性質、問38、39.を取り組んでみる。

38. 
    $\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}9\\ r\end{array}\right)x^r{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{9-r}\\ =\left(\begin{array}{c}9\\ r\end{array}\right){\left(-1\right)}^{9-r}{x}^{2r-9}\\ 2r-9=3\\ r=6\\ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right){\left(-1\right)}^{9-6}=-\frac{9·8·7}{3·2·1}=-84\\ x^3の係数は-84。\\ 2r-9=2\\ x^2の係数は0。\\ 2r-9=-1\\ r=4\\ \left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right){\left(-1\right)}^{9-4}=-1·\frac{9·8·7·6}{4·3·2·1}=-126\\ x^{-1}の係数は-126。\end{array}$
39. 
    $\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}6\\ r\end{array}\right){\left(3x^2\right)}^r{\left(\frac{1}{2x}\right)}^{6-r}=\left(\begin{array}{c}6\\ r\end{array}\right)·3^r·2^{r-6}·x^{3r-6}\\ 3r-6=6\\ r=4\\ \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)·3^4·2^{4-6}=15·81·\frac{1}{4}=\frac{1215}{4}\\ x^6の係数は\frac{1215}{4}。\\ 3r-6=4\\ x^4の係数は0。\\ 3r-6=-3\\ r=1\\ \left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)·3·2^{1-6}=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}\\ x^{-3}の係数は\frac{9}{16}。\\ 3r-6=0\\ r=2\\ \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)·3^2·2^{2-6}=15·9·\frac{1}{16}=\frac{135}{16}\\ 定数項は\frac{135}{16}。\end{array}$

コード(Emacs)

HTML5

<button id="run0">run</button>
<button id="clear0">clear</button>
<pre id="output0"></pre>
<script src="sample38.js"></script>

JavaScript

let input0 = document.querySelector('#n0'),
    btn0 = document.querySelector('#run0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let range = (start, end, step=1) => {
    let iter = (i, result) => {
        return i >= end ? result : iter(i + step, result.concat([i]));
    }
    return iter(start, []);
};
let factorial = (n) => {
    return n <= 1 ? 1 : n * factorial(n - 1);
};

let combination = (n, r) => {
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r));
};
let output = () => {
    p('38.');
    p(combination(9, 6) * Math.pow(-1, 9 - 6));
    p(combination(9, 4), Math.pow(-1,  9 - 4));
    p('39.');
    p(combination(6, 4) * Math.pow(3, 4), Math.pow(2, 4 - 6));
    p(combination(6, 1) * 3 * Math.pow(2, 1 - 6) === 9 / 16);
    p(combination(6, 2) * Math.pow(3, 2) * Math.pow(2, 2 - 6) === 135 / 16);
};

btn0.onclick = output;
btn1.onclick = () => {
    pre0.textContent = '';
};

output();

38.
-84
126
39.
1215
true
true