数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル – 直線と平面(垂直、平行、距離、パラメーター)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^nにおけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題1-8.を取り組んでみる。

9. 
   $\begin{array}{l}x+2y-3z=0\\ 2x-y+3z=0\\ 3x+y=0\\ y=-3x\\ 5x+3z=0\\ 3z=-5x\\ t\left(-3,9,5\right)\\ \\ -x+3y+2z=0\\ 2x+y+z=0\\ -5x+y=0\\ y=5x\\ 7x+z=0\\ z=-7x\\ t\left(1,5,-7\right)\end{array}$
10. 1. 
       $\begin{array}{l}X=\left(1,2,3,4\right)+t\left(1,1,1,1\right)\\ \left|QX\right|=\sqrt{{\left(3-t\right)}^2+{\left(1-t\right)}^2+{\left(-1-t\right)}^2+{\left(-3-t\right)}^2}\\ =\sqrt{4t^2+20}\\ =2\sqrt{t^2+5}\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}t=0\\ X_0\left(1,2,3,4\right)\\ \left|Q{X}_0\right|=2\sqrt{5}\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}{X}_0-Q:\left(-3,-1,1,3\right)\\ \left(-3,-1,1,3\right)·\left(1,1,1,1\right)=0\end{array}$
11. 1. 
       $\begin{array}{l}X:\left(1,-1,3,1\right)+t\left(1,-3,2,1\right)\\ \left|QX\right|=\sqrt{t^2+{\left(2+3t\right)}^2+{\left(-4-2t\right)}^2+{\left(1-t\right)}^2}\\ =\sqrt{\left(1+9+4+1\right)t^2+\left(12+16-2\right)t+\left(4+16+1\right)}\\ =\sqrt{15t^2+26t+21}\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}15t^2+26t+21\\ =15\left(t^2+\frac{26}{15}t\right)+21\\ =15{\left(t+\frac{13}{15}\right)}^2+21-\frac{{13}^2}{15}\\ =15{\left(t+\frac{13}{15}\right)}^2+\frac{315-169}{15}\\ =15{\left(t+\frac{13}{15}\right)}^2+\frac{146}{15}\\ \left|Q{X}_0\right|=\sqrt{\frac{146}{15}}\\ t=-\frac{13}{15}\\ X_0=\left(1,-1,3,1\right)-\frac{13}{15}\left(1,-3,2,1\right)\\ =\left(\frac{2}{15},\frac{24}{15},\frac{19}{15},\frac{2}{15}\right)\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}{X}_0-Q:\left(-\frac{13}{15},\frac{9}{15},\frac{34}{15},-\frac{28}{15}\right)\\ \left(-13,9,34,-28\right)·\left(1,-3,2,1\right)\\ =-13-27+68-28\\ =0\end{array}$