数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列空間(転置行列、和、積(スカラー倍)、正方行列、対角要素、対称行列、行ベクトル、列ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、1(行列空間)、練習問題6、7、8、9、10、11、12.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}cA:c{a}_{ij}\\ c{}^{t}A:c{a}_{ji}\\ {}^{t}A:a_{ji}\\ c{}^{t}A:c{a}_{ji}\\ {}^t\left(cA\right)=c{}^{t}A\end{array}$
7. 
   異ならない。
8. 
   $\begin{array}{l}{}^t\left(A+B\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\\ {}^{t}A+{}^{t}B\\ =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\end{array}$
9. 
   $\begin{array}{l}A+{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 4\end{array}\right)\\ B+{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -6\end{array}\right)\end{array}$
10. 
    $\begin{array}{l}A:a_{ij}\\ {}^{t}A:a_{ji}\\ A+{}^{t}A:a_{ij}+a_{ji}\\ a_{ij}+a_{ji}=a_{ji}+a_{ij}\end{array}$
11. 
    $\begin{array}{l}A\\ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\\ B\\ \left(\begin{array}{ccc}-1& 5& -2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}2& 2& -1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right)\end{array}$
12. 
    $\begin{array}{l}A\\ \left(\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}2& 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\\ B\\ \left(\begin{array}{cc}-1& 1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}0& -3\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import Matrix, pprint, symbols, randMatrix
import random

print('6.')
c = symbols('c')
for _ in range(5):
    n = random.randrange(1, 100)
    a = randMatrix(n, n)
    print((c * a).transpose() == c * a.transpose())

print('7.')
for _ in range(5):
    n = random.randrange(1, 100)
    a = randMatrix(n, n)
    ta = a.transpose()
    print(all(a[i, i] == ta[i, i] for i in range(n)))

print('8.')
a = Matrix([[1, -1],
            [2, 2]])
b = Matrix([[-1, 1],
            [0, -3]])
pprint((a + b).transpose())
pprint(a.transpose() + b.transpose())

print('9.')
pprint(a + a.transpose())
pprint(b + b.transpose())

print('10.')
for _ in range(5):
    n = random.randrange(1, 100)
    a = randMatrix(n, n)
    m = a + a.transpose()
    print(all(m[i, j] == m[j, i] for i in range(n)
              for j in range(n) if i <= j))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
6.
True
True
True
True
True
7.
True
True
True
True
True
8.
⎡0  2 ⎤
⎢     ⎥
⎣0  -1⎦
⎡0  2 ⎤
⎢     ⎥
⎣0  -1⎦
9.
⎡2  1⎤
⎢    ⎥
⎣1  4⎦
⎡-2  1 ⎤
⎢      ⎥
⎣1   -6⎦
10.
True
True
True
True
True
$