数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像の像と核(1次独立、1次元、像、平面のパラメーター方程式、同次元、像との一致)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題1、2、3.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}v\in R^2\\ v=x_{1}A+x_{2}B\\ F\left(v\right)\\ =F\left(x_{1}A+x_{2}B\right)\\ =x_{1}F\left(A\right)+x_{2}F\left(B\right)\end{array}$

   $F\left(R^2\right)=\left\{O\right\}$ とする。

   $\begin{array}{l}{x}_{1}F\left(A\right)+x_{2}F\left(B\right)=O\\ x_{1}O+x_{2}O=O\\ \left(x_1+x_2\right)O=O\\ O=O\end{array}$

   F(A)、F(B)は一次従属。

   0次元で1次元ではない。

   F(A)、F(B)が一次独立であるとする。

   Fの像は1次元ではない。$n\ge 2$

   $\begin{array}{l}{x}_{1}F\left(A\right)+x_{2}F\left(B\right)=O\Rightarrow x_1=x_2=0\\ F\left(R^2\right)=\left\{O\right\}\Rightarrow 1F\left(A\right)+F\left(B\right)=1O+O=O\end{array}$

   矛盾。

   Fの像が1次元であるとする。

   $F\left(R^2\right)\ne \left\{O\right\}$

   基底は1つなので、F(A)、F(B)は一次独立ではない。

2. 
   $X=\left(1,1,0,-1\right)+t\left(1,-2,1,4\right)+s\left(3,-3,1,0\right)$
3. 
   

   以下をVの基底とする。

   $\left\{v_1,\cdots ,v_n\right\}$

   次のことが成り立つ。

   $\begin{array}{l}v\in V\\ v=x_1{v}_1+\cdots +x_n{v}_n\\ F\left(v\right)=x_{1}F\left(v_1\right)+\cdots +x_{n}F\left(v_n\right)\\ x_{1}F\left(v_1\right)+\cdots +x_{n}F\left(v_n\right)=O\\ F\left(x_1{v}_1+\cdots +x_n{v}_n\right)=O\\ x_1{v}_1+\cdots +x_n{v}_n=O\\ x_1=\cdots =x_n=0\end{array}$

   よって、以下はWの基底となる。

   $\left\{F\left(v_1\right),\cdots ,F\left(v_n\right)\right\}$

   よって、Fの像はW全体である。